كيف تعلم طلابك أن يكتشفوا القوانين في الرياضيات؟
المعلم الرياضي الناجح هو المعلم الذي يطور ويحسن مهارة الاكتشاف لدى طلبته ، يتم التحسين والتطوير من خلال الأنشطة الموجهة والهادفة ، فكما استطاع الإنسان أن يوفر المناخ والجو الملائم لنبتة البندورة ( لا للحصر ) أن تثمر في غير أوانها شتاءً، من خلال تهيئة العوامل والأساليب التي تساعد على الأثمار (مع التحفظ على هذه المقارنة بسبب الفرق الهائل بين النبتة والطالب ،الذي يمتلك بنية معرفية تفوق النبتة ،و أعقد أجهزة الحاسوب العملاقة، و تختلف عن كل الكائنات الحية ) فكذلك المعلم الماهر يستطيع أن يوفر المناخ الاستكشافي الإبداعي لدى طلبته من خلال الشعار الذي يقول :
لا تطعمني مليون سمكة ، ولكن علمني أن أصطاد سمكة من فضلك .
نعم لأن من يصطاد سمكة قد يصطاد غيرها وغيرها حتى يصبح صيادا ماهرا ، و لا تنس عزيزي القارئ ( وعزيزتي القارئة )حكمة العالم الذي سأله أصدقاؤه السذج في قديم الزمان : ها أنت قد أجريت مئة تجربة فاشلة و لم تحصل على نتيجة صحيحة ؟؟؟ نعم … نعم … ،إجابة الحكيم ،لكن المرة مئة و واحد سأكتشف القانون ، لأنني أعرف مئة طريقة خطأ ، و سأتجنبها جميعا ، وفعلا المرة مئة و واحد كان الاكتشاف ! في هذا الطرح :
سيتم عرض أربعة أنشطة تهدف إلى اكتشاف قانون محيط الدائرة ومساحتها، و قانون مساحة سطح الكرة وحجمها ( يستطيع أي معلم اقتباس هذه الأفكار وتطويرها لمواضيع أخرى في مادة رياضيات).
النشاط الأول
الموضوع : محيط الدائرة ( ح = 2 نق )
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون محيط الدائرة عمليا ( طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار الدائرة ، أو ثلاثة أقطار).
المواد والتجهيزات اللازمة : ستة علب مختلفة في القياسات و فارغة على شكل أسطوانة دائرية قائمة ، خيوط عادية رفيعة ، مسطرة ، مثلثان بلاستيكيان قائمان ( متوفرة في علب الهندسة ) ، قلم رصاص .
خطوات التنفيذ :
1) ضع أرقاما متسلسلة على كل أسطوانة . 2) سجل الأرقام المتسلسلة في العمود الأول من الجدول في الأسفل . 3) لف الخيط على محيط القاعدة بحيث يكون طول الخيط يساوي محيط دائرة الاسطوانة ، كرر هذه العملية لجميع الأسطوانات الستة . 4) سجل طول الخيط الذي يمثل محيط كل أسطوانة في الجدول الأسفل . 5) قس طول قطر قاعدة كل أسطوانة ثم سجله في العمود المناسب في الجدول . تذكر : لقياس طول قطر القاعدة ؛ ثبت الأسطوانة بين المثلثين البلاستيكيين بشكل عمودي بحيث يكون أحد ضلعي القائمة مماسا لجسم الأسطوانة و الأخر منطبق على حافة المسطرة ، ثم أقرا المسافة المحصورة بين رأسي المثلثين من جهة الأسطوانة و المنطبقين على المسطرة 6) من الخطوة الخامسة ، أحسب طول نصف قطر القاعدة ، من خلال قسمة كل الأعداد في العمود على 2 . 7) أكمل الفراغ في العمودين الأخيرين من الجدول ، ثم سجل اكتشافك أسفل الجدول . املأ الجدول الأتي : كم مرة طول خيط المحيط أطول من نصف قطر الأسطوانة؟ كم مرة طول خيط المحيط أطول من طول القطر ؟ قياس طول نصف قطر دائرة الأسطوانة قياس طول قطر دائرة الأسطوانة قياس طول الخيط الذي يمثل محيط دائرة الأسطوانة. رقم الأسطوانة ماذا تلاحظ في العمود الأخير من الجدول؟
..................................
في العمود الأخير لا بد أن تكون العلاقة بين المحيط و نصف القطر : طول الخيط الذي يمثل طول المحيط في العمود الأول يساوي 6 أضعاف طول نصف القطر أي ؛ ح= 6 نق (أو 3 أقطار كما في العمود قبل الأخير ) لأن 6 و كذلك 3 ، وهنا ينوه المعلم إلى أنه بسبب الدقة العلمية المتناهية ، و بسبب وجود نسبة خطأ في قياساتنا و بسبب التوفيق بين الجانب العملي والجانب النظري ( المثالي )، فقد اتفق العلماء أن نعوض بدل ح= 6 نق ؛ ح = 2 نق . قد يتوقع من أحد الطلبة ( وهذا ليس غريبا) ، أن يصيغ الاكتشاف كما يأتي : طول محيط الدائرة يساوي طول ثلاثة أقطار لها تقريبا أو طول ستة أنصاف أقطار لها تقريبا ، أو طول نصف قطر الدائرة يساوي سدس محيطها تقريبا ، أو طول قطر الدائرة يساوي ثلث محيطها تقريبا ، إن جميع هذه الإجابات إبداعية ولها معنى في بنية الطالب المعرفية الرياضية .
النشاط الثاني
الموضوع : مساحة الدائرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة الدائرة عمليا ( مساحة الدائرة تساوي تقريبا مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، صمغ ، أوراق العمل .
( خطوات التنفيذ 1) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة يلاحظ أن هذه الدوائر مختلفة من حيث نصف القطر . 2) تكليف الطلبة قياس أنصاف أقطار الدوائر جميعها . 3) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة ( يجب أن يكون طول نصف قطر كل دائرة يساوي طول ضلع المربع ؛ أي كل دائرة لها 5 مربعات ، طول ضلع هذه المربعات يساوي طول نصف قطر الدائرة ، لذلك يرجى الدقة عند تصميم هذا النشاط من قبل المعلمين ، مع ملاحظة أن الرسومات هنا تقريبية وغير دقيقة ، وهي من أجل التوضيح فقط ) . ش( 4) أبحث عن المربعات التي طول ضلعها يساوي طول نصف قطر الدائرة ؛ عين كل دائرة مع المربع الذي طول ضلعه يساوي نصف قطرها . 5) قص المربعات بالمقص ، ثم حاول لصق أكبر عدد ممكن من المربعات على سطح الدائرة وذلك بشرط أن يكون طول ضلع المربع الذي تلصقه يساوي طول نصف قطر الدائرة ، ويجب عدم ترك فراغ على سطح الدائرة . 6) كم مربعا يلزم لتغطية الدائرة الواحدة ؟
.........................
إذا نفذ الطالب النشاط بعناية ودقة فسيلاحظ أن عدد المربعات اللازم هو 3 ، أي أن مساحة الدائرة تساوي مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها وبالرموز ؛ مساحة الدائرة ( تقريبا ( نق2 وهو ما يساوي بالضبط نق2 ، ويحتمل أن تكون هناك إجابات أخرى للطلبة مثل : مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الدائرة يساوي تقريبا ثلث مساحة الدائرة ، و يمكن أن يربط أحد الطلبة مساحة الدائرة بمساحة المربع المنشأ على قطرها وهكذا .
النشاط الثالث
الموضوع : مساحة سطح الكرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة سطح الكرة عمليا ( مساحة سطح الكرة تساوي تقريبا مساحة 12.5 مربعا منشأ على نصف قطرها)
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، كرة القدم ، ورق تجليد
خطوات التنفيذ :
1) جد طول قطر كرة القدم من خلال تثبيتها على مسطرة وبين مثلثين قائمين. 2) جد طول نصف قطر الكرة من الخطوة الأولى . 3) غلف كرة القدم بشكل جيد بورق التجليد ( أي أنك تصنع كرة أخرى من الورق ( . 4) انزع ورق التجليد بلطف ( كرة الورق من الخطوة السابقة) . 5) قص ورق التجليد ( الذي نزعته عن الكرة ) إلى مربعات ، بحيث يكون طول ضلع كل مربع يساوي طول نصف قطر الكرة . 6) ما عدد المربعات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المربعات وسطح الكرة ؟ يلاحظ أن عدد المربعات يساوي ( تقريبا ) 12,5 ؛ أي أن مساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12,5 مربعا منشئا على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب مساحة سطح الكرة نق2 وهو ما يساوي بالضبط 4 نق2 . يتوقع أن يكتشف أحد الطلاب العلاقة ( القانون ) بصورة عكسية ؛ أي أن مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي تقريبا 112 ، وقد تكون هناك إجابات أخرى إبداعية .
النشاط الرابع
الموضوع : حجم الكرة
الهدف : أن يكتشف الطلب قانون حجم الكرة عمليا ( حجم الكرة يساوي تقريبا حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مشرط أو سكين ، ثمار التفاح أو الفجل أو أي شئ كروي يمكن تقسيمه بسهولة ويسر مثل كرة من اللدائن .
خطوات التنفيذ :
1) أحسب طول قطر التفاحة من خلال تثبيتها بين مثلثين قائمين وعلى حافة المسطرة. 2) أحسب طول نصف قطر التفاحة . 3) قص التفاحة الى جزئين متطابقين بالمشرط . 4) حاول تقسيم الاجزاين الى مكعبات بحيث يكون طول ضلع المكعب يساوي طول نصف قطر الكرة ( لا تهتم بوجود نتوئات في المكعبات التي حصلت عليها أو عدم انتظامها ( 5) ما عدد المكعبات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المكعبات وحجم التفاحة ؟ يلاحظ أن عدد المكعبات يساوي ( تقريبا ) 4 ؛ أي أن مساحة حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب حجم الكرة نق3 وهو ما يساوي بالضبط 43 نق3 ، ويمكن توقع اكتشاف القانون بطرق أخرى مثل : حجم المكعب المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي ربع حجم الكرة ، ويتوقع إجابات إبداعية أخرى قد يظهرها الطلبة . ملاحظة مهمة ومتقدمة في الرياضيات ( التكامل و التفاضل ) : هناك علاقة مهمة جدا بين مساحة الدائرة ومحيطها ، إن إجراء عملية التكامل لقانون محيط الدائرة يعطي قانون مساحتها، وبالعكس فأن اشتقاق قانون المساحة يعطي قانون المحيط، وكذلك بالنسبة للكرة، فأن اشتقاق قانون حجم الكرة يعطي قانون مساحة سطحها ، وتكامل قانون مساحة السطح يعطي قانون الحجم . فلو تم تقديم هذه الفكرة إلي طلبة التوجيهي فأنها تساعدهم في تخزين هذه القوانين بيسر وسهولة من خلال علاقة لها معنى رياضي منطقي. الخلاصة : إن الأنشطة أعلاه تبني المعنى لدى الطلبة من خلال الأنشطة عمليا وبصورة قريبة جدا من الجانب النظري ، لذلك يرجى عدم الاستهانة بهذا النوع من الانشطة ، والتي قد تخزن في ذاكرة الطلبة لفترة طويلة جدا ، ويستطيع الطالب الحكم على نجاعة وصحة حله عند حساب محيط الدائرة ومساحتها ، وكذلك عند حساب مساحة سطح الكرة وحجمها ، فالطالب يعرف عمليا ونظريا أن طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار لها، وكذلك فأن مساحة الدائرة تساوي مساحة 3 مربعات منشئات على نصف قطرها ، وكذلك الأمر لمساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12 أو 13 مربعا منشئا على نصف قطرها، وأن حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها .
وفي النهاية لابد من الاعتراف بإن تطوير مهارة الاكتشاف من خلال التقدير في الرياضيات من الأمور المهمة جدا لدى جميع التربويين لأنها تنمي حب الاكتشاف وتطلق العنان للخيال في الإبداع ، لم لا والتقدير مع الاكتشاف عبارة عن تخمين ومعالجة ذكية للبيانات والظواهر الرياضية.
